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부등식 두 번째 강의인데요~. 오늘은 많은 학생분들이 힘들어 하는 절댓값 기호를 포함한 부등식의 풀이방법에 대해서 여러가지 각도에서 바라보겠습니다. 절댓값 기호를 포함한 부등식의 기본적인 풀이방법에서부터 다음번 포스팅 때에는 절댓값 함수를 이용한 풀이방법까지 다양하게 절댓값 부등식을 풀 수 있는 방법에 대해서 말씀드릴께요~^-^

 

우선 절댓값의 기본 성질부터 정리하자면,

 

 

 

위와 같이 절댓값 x의 값이 숫자보다 큰지, 작은지에 따라서 절댓값 부등식의 기본성질들이 달라지게 됩니다^^ 위의 절댓값 부등식의 기본성질들을 꼼꼼히 읽어두고 자신의 것으로 만들어 두신 다음 아래의 예제를 풀어봅시다.!

 

 

 

위의 문제에 대한 답이 나오셨나요?^^ 절댓값 부등식의 기본성질을 이용한 절댓값 기호가 하나붙은 아주 간단한 예제였습니다. 그럼 이번에는 절댓값 기호가 하나 붙은 문제에 대해서 용기가 붙었으니 절댓값 기호가 2개가 붙은 문제를 한 번 풀어볼까요?

 

 

 

위에서 나눈 세 범위에 의하여 세분화 해주면 아래와 같이 범위가 나뉘게 됩니다. 등호는 붙이고 싶은 부분에 붙이셔도 되는데, 흔히들 x가 크다쪽에 등호를 많이 붙이니 습관적으로 붙이는 연습을 하셔도 좋을꺼 같아요!

 

 

 

이렇게 세 범위에 의하여 절댓값 기호가 2개가 붙은 부등식을 풀어보았는데, 위의 범위를 총 정리하여 마지막에는 합집합을 해줘야 한다는 것이 포인트입니다.! 절댓값 기호를 포함한 부등식의 풀이방법.. 오늘은 부등식의 기본성질을 이용하여 간단하게 풀이해 봤는데요~. 다음 시간에는 절댓값 함수를 이용하여 절댓값 기호를 포함한 부등식을 더욱 간단하게 푸는 방법에 대해서 소개해 드리겠습니다.^----^ 

 

 

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부등식의 뜻은 중학교에서 배웠던 개념과 똑같습니다. 등호(=)를 사용하여 나타내는 것을 등식이라고 한다면 부등호(<, >,≤, ≥)를 사용하여 나타내는 것을 부등식이라고 합니다. 부등식의 개념은 참 쉽죠?^^ 부등식의 뜻에 따라 대소관계는 실수에서만 정의를 내리기로 약속했으므로 부등식은 아무 말이 없어도 실수 범위에서만 생각하기로 합니다.! 이러한 부등식의 종류는 두 가지로 나뉘는데, 하나는 절대부등식이고 다른 하나는 조건부등식입니다. 절대부등식과 조건부등식을 더 자세하게 알아볼까요?

 

 

 

절대부등식의 뜻은 위에서 설명한 바와 같이 모든 x의 값에 따라 항상 성립하는 부등식을 말합니다. 그리고 조건부등식이란 어떠한 실수의 값에 대해서만 성립하므로 x의 범위가 정해지는 것이죠~. 간단하게 생각하면 절대부등식은 항등식의 개념과, 조건부등식은 방정식의 개념과 똑같다고 생각하시면 됩니다.^-^

 

그럼 아래에서 절대부등식과 조건부등식의 예를 들어볼까요?

 

 

 

위의 예를 든 3개의 부등식중에서 조건부등식과 절대부등식은 각각 몇 번일까요? 정답을 잘 생각해 보시기 바랍니다. 절대부등식은 모든 실수 x의 값에 대하여 항상 성립하는 부등식이라고 했고, 조건부등식은 어떨때는 참이되었다가 어떨때는 거짓이 되기도 하는 것이 조건부등식의 정의였습니다.^^ 그럼 거두절미하고 위의 예제에 대한 풀이과정을 함께 보실까요?

 

 

 

 

위의 풀이과정을 보시면 1번을 제외하고는 항상 성립하는 부등식이 되므로 2, 3번은 절대부등식이 됩니다~.

 

이렇게 부등식의 종류를 알아봤는데, 이러한 부등식을 풀거나 증명할 때에 사용되는 것이 바로 부등식의 기본성질인데, 이제부터 부등식의 기본성질에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

 

 

 

부등식의 대소관계를 확인하거나 증명하는 가장 기본적인 방법중에 하나가 바로 두 식을 빼서 대소비교를 해보는 것인데, 이 때에는 부등식의 기본성질을 확실히 알고 사용해야 합니다. 다음번 포스팅에서 이 부분은 좀 더 자세히 다루도록 하겠습니다.^---^

 

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삼차방정식을 풀다보면 특이한 녀석이 하나 나오는데, 그것이 바로 허근인 오메가(w)라는 놈입니다. 삼차방정식의 한 허근인 오메가라는 놈은 다양한 성질을 가지고 있는 놈인데, 허근 오메가(w)의 성질을 이용하면 어려운 문제도 쉽게 풀리는 장점이 있습니다. 특히 허수단위의 성질처럼 주기라는 것을 가지고 있는 삼차방정식의 한 허근인 오메가를 이용하는 문제들이 고1 기말고사 기출문제에 다수 출제가 되고 있구요~! 그럼 오늘은 삼차방정식의 한 허근인 오메가의 성질을 알아보고 그에 대한 예제를 한 번 풀어보도록 하겠습니다.^-^

 

 

 

우선 오메가의 정의부터 알아보도록 하고 그 성질들을 정리해 볼까요?

 

 

 

위의 문제를 이용한 문제를 하나 예로 들어 보겠습니다~! 아래의 문제를 읽어보고 답을 한 번 구해보세요^-^

 

 

 

 

여기서 오메가의 성질에 의해서 옳은 것의 개수는 1번부터 5번까지 모두 맞는 말이 됩니다. 위의 오메가의 성질을 정리를 한 내용을 잘 기억해 두셨다가 오메가의 성질이 나오는 문제들을 한 번 풀어보시기 바랍니다.^o^ 그리고 오메가의 성질중 다른 삼차방정식도 정리를 같이 해두겠습니다.! 아래의 파일 첨부를 확인하시면 오메가의 성질을 정리한 내용과 오메가를 이용한 고1 기말고사 기출문제 족보를 올려 두었습니다. 공부하시는데 작은 도움이라도 되길 바랍니다.^-----^

 

오메가의 성질을 이용한 문제    >>>   

삼차방정식의 오메가의 성질2.hwp
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오메가의 성질 정리    >>>    

삼차방정식의 오메가의 성질3.hwp
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어제는 고1 기말고사 기출문제 부정방정식의 정수근의 풀이를 봤는데요~. 오늘은 부정방정식의 실수근의 풀이방법을 살펴보도록 하겠습니다.! 부정방정식의 문제들은 정해진 패턴이 있기 때문에 조금만 공부하시면 매우 쉬운 문제로 둔갑하게 됩니다.^^ 우선 어제 배운 고1 기말고사 단원의 핵심 기출문제인 부정방정식의 정수근의 풀이방법부터 보실까요?^^

 

 

 

위와 같이 정수근의 풀이방법에는 4가지의 방법으로 풀 수가 있습니다. 특히 2, 3번의 풀이방법은 가장 많이 쓰이는 방법이기도 하므로 구분하여 잘 이용하시기 바랍니다.^o^

 

그럼 오늘의 주제인 고1 기말고사 기출문제중 한 파트인 실수근의 풀이방법에 대해서 자세히 살펴보겠습니다. 부정방정식의 실수근의 풀이방법에는 2가지가 있습니다. 부정방정식의 정수근의 풀이방법보다는 간단합니다.^-^

 

 

 

그럼 위의 부정방정식의 실수근의 풀이방법의 예제를 들면서 자세한 설명을 해드리겠습니다. 아래의 예제를 통하여 부정방정식의 실수근의 2가지 풀이방법에 대해서 알아보도록 할께요~^-^

 

 

 

 

 

위의 문제를 아래와 같이 풀이를 해봤습니다. 고1 기말고사 기출문제가 다소 범위가 넓기 때문에 부정방정식의 풀이방법에 대해서 대충하고 넘어가시는 분들이 꽤 많은데, 이번 기회에 부정방정식의 정수근의 풀이방법과 실수근의 풀이방법에 대해서 제대로 숙지하고 넘어가는 게 좋겠죠?^o^

 

아래의 부정방정식의 실수근의 풀이방법 첫 번째 문제에 대한 풀이를 보시면 허수의 성질과 비교되는 실수의 성질을 이용하여 문제를 푼 것을 알 수가 있습니다.! 실수는 제곱하면 무조건 0보다 크거나 같다는 사실!!!! 기억하시고 문제 풀이를 보셔야 합니다.^-^

 

 

 

두 번째는 위의 예제처럼 완전제곱식이 되지 않는 관계로... 궁지에 몰렸기 때문에 판별식을 이용하는 방법을 사용해야 합니다.! 그래서 실수조건이 아니더라도 음의 정수조건에서도 판별식의 조건을 이용해야 합니다~.

 

 

 

 

위와 같이 고1 기말고사 기출문제 풀이방법을 보셨는데요~. 부정방정식의 정수근과 실수근은 풀이방법이 정해져 있는 문제들이기 때문에 사실 ... 활용이 된 다른 수학문제들 보다는 훨씬 접근하기가 쉽습니다.! 수학을 어려워 하시는 분들의 입장에서는 이렇게 딱딱!! 공식에 맞는 문제들이 쉽다는 사실.^^ 그럼 고1 기말고사 기출문제를 많이 풀어보시고 수학정복하는 그 날까지 열공하시기 바랍니다. ^------^ 

 

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고1 기말고사 기출문제 오늘은 고차방정식단원의 부정방정식중 정수근을 가질때의 풀이방법과 실수근을 가질때의 풀이방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다.^^ 부정방정식에서 부정이라는 뜻은 정할 수 없을만큼 해가 무수히 많다는 뜻입니다. 부정의 반대말은 불능(해가 없다는 뜻. 구제불능을 생각하시면 잘 외워져요^^ㅎ)이에요~! 요즘같이 날이 더워지면서 고1 기말고사를 준비하는 학생여러분들이 체력적으로 많이 힘든 시기인데... 처음 치뤘던 고1 중간고사 시험의 결과를 생각한다면 조금만 더 힘을 내서 기말고사를 준비하셔야 하겠죠?^o^

 

 

 

 

 

그럼 오늘은 고1 기말고사 기출문제중 많이들 힘들어 하시는 파트인 부정방정식에 대해서 알아보도록 하겠습니다.^^ 우선 부정방정식은 정수근과 실수근의 파트로 나누어서 생각할 수가 있는데, 부정방정식의 정수근과 실수근의 풀이방법을 정리해 보자면,

 

 

 

 

위와 같이 부정방정식의 정수근의 풀이방법과 실수근의 풀이방법을 잘 구분하셔서 숙지하신다면 고1 기말고사 기출문제인 부정방정식 문제가 더이상 어렵지 않을꺼에요~^-^

 

위의 부정방정식의 풀이방법이 이해가 잘 안가신다면 아래의 예제를 참고해 주세요^^ 정수근의 풀이방법 중에서 첫 번째 대입법은 너무 원시적인 방법이어서^^;; 2번 방법부터 예제를 들었습니다~!

 

 

 

위의 부정방정식의 풀이방법을 아시고 싶으신 분들은 밑에 파일 첨부를 해두었으니 열공하시기 바랍니다. 부정방정식은 고1 기말고사 기출문제로 많이 등장하지만 시중에 파는 문제집에서는 부정방정식의 설명이 턱도 없이 부족한 면이 있어서 이렇게 정리를  해봤습니다.^^ 부정방정식 문제를 많이 풀어보시고 고1 기말고사 기출문제에 도전해 보시기 바랍니다^---^

 

고1 기말고사 기출문제      >>>     

부정방정식 정수근의 풀이방법.hwp
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오늘은 고1 기말고사 기출문제중 제일 기본이 되는 이차방정식의 근의 정의에 관하여 말씀드리겠습니다.^^ 이차방정식은 중학교 3학년때부터 익히 배워오던 단원이었기 때문에 고1 기말고사 범위인 이차방정식에 대해서 너무나도 쉽게 생각해 버리고 공부를 안하시는 분들이 많이 계십니다.

 

하지만 이차방정식의 과정이 중3 이차방정식의 연장이라고 생각하시면 큰 오산입니다. 특히 이차방정식의 근에 대한 정의는 반드시 잘 알고 계셔야 할 부분이에요~! 고1 기말고사 기출문제들이 대부분 이차방정식에서부터 시작을 하는 학교가 많이 있는데, 오늘은 이러한 고1 기말고사 기출문제중 이차방정식의 근에 대한 정의를 자세하게 알아보도록 하겠습니다.^o^

 

 

대표적인 문제로,

 

 

 

위의 두 문제를 한 번 풀어봅시다. 물론 두 문제를 푸는 방법은 명백히 다르다는 것을 알 수 있는데요~. 공부를 한 학생들이라면 얼릉 눈치를 채셨겠지만 아직도 감을 못잡으신 대다수의 고1 학생들의 반응은 2가지로 나뉠꺼에요! 똑같이 풀면 되겠지...라고 생각하거나 공식을 이용하여 풀 수 있는 방법은 없나..하고 망설이는 반응!

 

그러나 고1 기말고사 기출문제이 이차방정식의 근에 대한 정의는 공식이 없으니.. 확실히 이해를 하고 넘어가야 하는 부분이 무척이나 많아요~^^;; 아래의 이차방정식의 두 문제에 대한 풀이를 살펴보면,

 

 

 

위의 풀이에서 알 수 있듯이 이차방정식의 근이라는 정확한 정의에 의해서 한 근을 x의 값에 넣어주기만 하는 문제가 되는 것이고, 실제로 k=-1의 값을 문제에 넣고서 근을 구해보면 실수 켤레가 나오지 않는다는 것을 알 수 있습니다.!

 

 

 

위의 문제풀이는 매우 중요하니 잘 이해하셔야 합니다. 이차방정식이 아니어도 계수가 실수인 계수를 가지는 방정식이라면 복소수 켤레근을 가지게 되어 있고, 유리수인 계수를 가지는 방정식은 실수 켤레근을 가지게 되어 있습니다. 어차피 고1 기말고사 기출문제는 이차방정식만 들어가는 것이 아니라 고차방정식까지 포함하는 범위이기 때문에 이차방정식에만 국한해서 생각하지 마시고, 미리 공부해 두는 것이 좋습니다.

 

그럼 여기서 드는 의문 한가지.....!!!! 실계수일때는 복소수 켤레를 가지고, 유리계수일때는 실수 켤레를 가지게 되는 이유는 무엇일까요? 그 의문을 풀기 위한 해법은 밑의 파일에 첨부해 두겠습니다. 궁금하신 분들은 켤레근에 대한 진실을 다운로드 받아보시고 의문을 해결하시기 바랍니다.^-----^

 

                        고1 기말고사 기출문제 / 켤레근에 대한 진실    >>>       

이차방정식 켤레근에 대한 진실.hwp
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오늘도 고1수학 명제 확인학습문제 올라갑니다.^^ 언제나 말씀드리듯이 수학문제를 풀기 이전에 정확한 정의를 여러번 읽어보고 그 정의를 자기것으로 만들 줄 알아야만 수학문제는 술술~~~풀리게 된다는것!!!!ㅎ 역,이,대우와 필요조건,충분조건에 대한 고찰을 여러 번 반복하여 문제를 풀다보면 감이 올꺼에요~^^ 역, 이, 대우문제나 필요조건, 충분조건과 같은 문제는 공식이 아니기 때문에 여러 번 반복하여 비슷한 문제들을 풀어봄으로써 정의를 완벽하게 이해하는데에 도움이 됩니다^-----^ 그럼 아래에 고1수학 명제확인학습문제에 대해서 파일첨부해 놓았으니 다운받으셔서 문제를 풀어보시기 바랍니다.^o^

 

 

 

고1수학 명제 확인학습문제 / 역,이,대우, 필요조건,충분조건 >>>

명제3.hwp
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고1 수학 명제 확인학습문제 두 번째 파일 올립니다.^^ 명제파트의 정의를 확실히 이해하고 문제를 푸셔야 제가 첨부해둔 명제 문제가 이해가 잘 가실꺼에요~. 명제단원의 역, 이, 대우의 정의와 명제와 대우의 관계..그리고 역과 이의 관계를 정확히 이해하고 그들이 왜 같은 운명일 수 밖에 없었는지에 대해서도 주의주시하면서 문제를 풀어보세요^-^ 필요조건과 충분조건에 대해서는 더 자세한 설명을 올리도록 하겠습니다.!

 

고1수학 명제 확인학습문제 / 역,이,대우, 필요조건,충분조건 >>>

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오늘은 고1 수학 집합과 명제의 단원 중 명제파트의 확인학습문제를 올려볼까 합니다~. 명제파트는 확인학습문제들을 많이 풀어보셔야만 역, 이, 대우 문제들을 틀리지 않고 잘 풀 수가 있으면 충분조건, 필요조건과 같은 복잡한 문제들을 술술 푸실 수가 있지요^-^ 고1 수학의 제일 첫 단원이 집합과 명제인데... 사실 이 첫 단원이 제일 어려운 단원이기도 합니다.^^;; 뒤로 갈수록 계산하는 단원이 깔리면서 제법 중학교 수학과 비슷한 체계로 흘러가지만 고1 수학을 접하면서 제일 처음에 나오는 단원인 집합과 명제는 생각을 많이 해야 하는.. 따라서 문제를 많이 접해보고 풀어봄으로써 해결할 수 밖에 없는 문제들이 대다수이지요^-^

 

오늘은 고1 수학 집합과 명제단원의 확인학습 문제들을 풀어보고 다시 한 번더 명제의 정의를 되새김질 하시고 정리하시기 바랍니다.!

 

 

 

고1 수학 명제 확인학습문제 >>>     

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오늘은 고1 수학 명제단원에서 역, 이, 대우의 정의와 성질에 대해서 알아보도록 하겠습니다.^^ 우선 명제의 정의를 알아야 하는데.. 저번 시간에 명제란~! 참, 거짓이 판별이 나는 식이나 문장을 말한다고 하였죠. 그럼 이 명제를 가지고 역, 이, 대우를 쓰는 방법을 말씀드릴께요^o^

 

두 개의 조건 p, q를 가정과 결론으로 결합시켜 만들어낸 명제는 네 가지가 있습니다. 그 경우의 수는,

 

여기서 ~의 의미는 수학적인 기호로 not을 이야기합니다. 따라서 '~p'라고 하면 'p가 아닌것'이라고 해석하면 되죠~! 이렇게 명제 p → q와 그 역, 이, 대우 사이의 관계를 그림으로 나타내면 아래와 같습니다.^^

 

 

 

 

위와 같이 명제 p → q의 역과 이는 서로 대우관계에 있음을 알 수가 있고, 명제 p → q의 역의 이는 이 명제랑 대우관계임도 알 수가 있습니다. 물고 물리는 역, 이, 대우관계^^ㅎㅎㅎ 명제와 역, 이, 대우와의 관계를 한 눈에 알아보기 쉽게 설명한 그림으로 잘 기억해 두시기 바랍니다.^-^

 

 

 

예를 들어 '6의 약수이면 12의 약수이다.' 를 보고 이 명제의 역, 이, 대우를 말해보고 그에 따른 참, 거짓을 가려보면

 

① 역 : 12의 약수이면 6의 약수이다. (거짓)

② 이 : 6의 약수가 아니면 12의 약수가 아니다. (거짓)

③ 대우 : 12의 약수가 아니면 6의 약수가 아니다. (참)

 

 

 

그럼 다음은 명제와 대우와의 상관관계에 대해서 살펴보겠는데요~!

 

 

 

 

두 조건 p, q를 만족하는 집합을 각각 P, Q라고 하면 ~p, ~q 를 만족하는 집합은 각각 P의 여집합, Q의 여집합으로 나타낼 수가 있습니다.

 

 

그래서 명제와 대우는 어쩔 수없는 한 운명이 되는 것이고, 역과 이또한 한 운명이 되는 것이죠! 명제가 참이면 대우도 반드시 참인 것이고, 역이 참이면 이도 참... 반대로 역이 거짓이면 이도 거짓, 명제가 거짓이면 대우도 거짓.. 이러한 원리가 적용이 되는 것입니다.^-^ 오늘은 명제의 역, 이, 대우에 대해서 살펴보았는데 내일은 이것을 가지고 명제의 필요조건과 충분조건을 말하도록 하겠습니다.!

 

 

 

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